什么是定积分

定积分是用来计算函数在一定区间上的累积和的工具，常被用于求面积、体积、质量等累积量。数学上，定积分是微积分的核心概念之一。

定积分的公式

定积分的基本公式是：

∫abf(x) dx

\int_a^b f(x) \, dx

∫ab​f(x)dx

其中：

f(x)f(x)f(x) 是被积函数；[a,b][a, b][a,b] 是积分的上下限；dxdxdx 表示对变量 xxx 进行积分。

几何意义

定积分可以看作是函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b][a,b] 上曲线与 xxx-轴之间的面积：

f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0：表示区间内正面积。f(x)<0f(x) < 0f(x)<0：表示区间内负面积（在 xxx-轴下方，记为负值）。

定积分的计算方法

基本反常规法：用原函数求解。

如果 F(x)F(x)F(x) 是 f(x)f(x)f(x) 的原函数（即 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x)），则定积分可以计算为：

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

数值方法：如果无法直接求原函数（比如复杂函数），可使用数值积分方法，如梯形法、辛普森法。

定积分的计算示例

示例 1：计算简单多项式的定积分

求 ∫02(3x2+2x+1) dx\int_0^2 (3x^2 + 2x + 1) \, dx∫02​(3x2+2x+1)dx。

解：

找原函数：

∫(3x2+2x+1) dx=x3+x2+x+C

\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = x^3 + x^2 + x + C

∫(3x2+2x+1)dx=x3+x2+x+C

其中 CCC 是不定积分中的常数，这里不需要。

代入上下限：

∫02(3x2+2x+1) dx=[x3+x2+x]02

\int_0^2 (3x^2 + 2x + 1) \, dx = \Big[ x^3 + x^2 + x \Big]_0^2

∫02​(3x2+2x+1)dx=[x3+x2+x]02​

即：

(23+22+2)−(03+02+0)=8+4+2=14

\left(2^3 + 2^2 + 2\right) - \left(0^3 + 0^2 + 0\right) = 8 + 4 + 2 = 14

(23+22+2)−(03+02+0)=8+4+2=14

示例 2：计算指数函数的定积分

求 ∫01ex dx\int_0^1 e^x \, dx∫01​exdx。

解：

找原函数：

∫ex dx=ex+C

\int e^x \, dx = e^x + C

∫exdx=ex+C

代入上下限：

∫01ex dx=[ex]01

\int_0^1 e^x \, dx = \Big[ e^x \Big]_0^1

∫01​exdx=[ex]01​

即：

(e1−e0)=e−1

\left(e^1 - e^0\right) = e - 1

(e1−e0)=e−1

示例 3：计算三角函数的定积分

求 ∫0π/2sin⁡x dx\int_0^{\pi/2} \sin x \, dx∫0π/2​sinxdx。

解：

找原函数：

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

∫sinxdx=−cosx+C

代入上下限：

∫0π/2sin⁡x dx=[−cos⁡x]0π/2

\int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = \Big[ -\cos x \Big]_0^{\pi/2}

∫0π/2​sinxdx=[−cosx]0π/2​

即：

(−cos⁡(π/2)−(−cos⁡(0)))=(−0−(−1))=1

\left(-\cos(\pi/2) - (-\cos(0))\right) = \left(-0 - (-1)\right) = 1

(−cos(π/2)−(−cos(0)))=(−0−(−1))=1

应用场景

物理：求做功、位移、速度等累积量。概率：在概率密度函数上计算区间概率。几何：计算平面图形的面积、体积等。